已知函数f(x)=13a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1处的切线的斜率为-1，（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）是否总存在实数m，使得对任意的x1∈[-1，2]，总存在x0∈[0，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1处的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

a2x3 +3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1处的切线的斜率为-1，
（1）求f（x）的解析式及单调区间；
（2）是否总存在实数m，使得对任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₀∈[0，1]，使得g（x₀）=f（x₁）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=a²x²+6ax+8，f'（1）=a²+6a+8=-1得a=-3，则f（x）=3x³-9x²+8x（3分）
f'（x）=9x²-18x+8=（3x-2）（3x-4）令f′(x)＞0得x＞

4

3

或x＜

2

3

；f′(x)＞0得

2

3

＜x＜

4

3

；∴f(x)的递增区间为(-∞，

2

3

)，(

4

3

，+∞)；递减区间为(

2

3

，

4

3

)（7分）
（2）由（1）得

x

-1

（-1，

2

3

）

2

3

（

2

3

，

4

3

）

4

3

（

4

2

，2）

2

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

-20

增

20

9

减

16

9

增

4

所以当x₁∈[-1，2]时，-20≤f（x₁）≤4，（9分）
假设对任意的都存在x₁∈[-1，2]x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
设g（x₀）的最大值为T，最小值为t，则

T≥4

t≤20

（11分）
又g′（x）=9x²+3m²＞0，所以当x₀∈[0，1]时，
T=g（1）=1+3m²-8m≥4且t=g（0）=-8m≤-20，所以m≥3．（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13a2x3+3ax2+8x，g(x)=x3+3m2x-8m，f（x）在x=1处的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：