已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数（1）求实数b的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+af(x)的值域．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数（1）求实数b的值；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

ax+1

+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数
（1）求实数b的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）当x∈（0，+∞）时，求函数y=f（x）+

a

f(x)

的值域．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵定义域为R，
∴f（0）=0，∴b=-

1

2

；

（2）是单调递增函数．
∵定义域为R，∴任取x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=(

1

ax1+1

-

1

2

)-(

1

ax2+1

-

1

2

)=

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

∵0＜a＜1，∴a^x₁＞a^x₂，a^x₂-a^x₁＜0，（a^x₁+1）（a^x₂+1）＞0
，∴

ax2-ax1

(ax1+1)(ax2+1)

＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=

1

ax+1

-

1

2

，（0＜a＜1）是单调递增函数

（3）y=g（t）=t+

a

t

，t∈(0，

1

2

)
当

0＜a＜1

a

≥

1

2

?

1

4

≤a＜1时，y=g（t）在t∈(0，

1

2

)单调递减，
值域：(2a+

1

2

，+∞)
当

0＜a＜1

a

＜

1

2

?0＜a＜

1

4

时，y=g（t）=t+

a

t

≥2

a

，
当且仅当t=

a

∈(0，

1

2

)时，y_min=2

a

，
值域：[2

a

，+∞)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=1ax+1+b，（0＜a＜1，b∈R）是奇函数（1）求实数b的值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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