已知函数f（x）=x?ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a和b的值；（Ⅱ）若存在实数x∈[1，2]，使不等式f(x)≤12x2+(t-1)x成立，求实数t的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x?ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a和b的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x?e^x+ax²+bx在x=0和x=1时都取得极值．
（Ⅰ）求a和b的值；
（Ⅱ）若存在实数x∈[1，2]，使不等式f(x)≤

1

2

x2+(t-1)x成立，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=e^x+xe^x+2ax+b，
因为f（x）在x=0和x=1时取得极值，
所以有

f′(0)=0

f′(1)=0

，即

1+b=0

e+e+2a+b=0

，解得

b=-1

a=

1

2

-e

，经检验符号条件，
故a=

1

2

-e，b=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=xex+

1

2

x2-ex2-x，
即存在实数x∈[1，2]，使xe^x-ex²-tx≤0成立，即e^x-ex-t≤0，
令g（x）=e^x-ex-t，则g′（x）=e^x-e≥0恒成立，
所以g（x）在[1，2]上单调递增，∴g（x）_最小=g（1）=e-e-t≤0，
∴t∈[0，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x?ex+ax2+bx在x=0和x=1时都取得极值．（Ⅰ）求a和b的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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