设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．（1）求a，b，c的值；（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设函数f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上单调递增．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＜0时，f（x）的单调性如何？证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）为奇函数，
故f（x）的定义域关于原点对称
又f（x）的定义域为{x|x≠-

c

b

}（显然b≠0，否则f（x）为偶函数）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上单调递增

（2）由（1）知f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①当-1＜x₁＜x₂＜0时，显然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）为减函数
②当x₁＜x₂＜-1时，显然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）为增函数
综上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，0）上是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f(x)=ax2+1bx+c是奇函数，（a，b，c都是整数），且f（1）=2，f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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