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1、试题题目：已知△ABC中，满足AB2=AB?AC+BA?BC+CA?CB，a，b，c分别是△ABC的三..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

已知△ABC中，满足
AB
2=
AB
?
AC
+
BA
?
BC
+
CA
?
CB
，a，b，c分别是△ABC的三边．
（1）试判定△ABC的形状，并求sinA+sinB的取值范围．
（2）若不等式a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）≥kabc对任意的a，b，c都成立，求实数k的取值范围．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的奇偶性、周期性



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）∵
AB
2=
AB
?
AC
+
BA
?
BC
+
CA
?
CB
=
AB
?（
AC
-
BC
）+
CA
?
CB
=
AB
2+
CA
?
CB
，
∴
CA
?
CB
=0，∴△ABC是以∠C为直角的直角三角形．
∴sinA+sinB=sinA+cosA=
2
sin(A+
π
4
)∈(1，
2
]．（5分）
（2）在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，∴原不等式等价于k≤
a2(b+c)+b2(c+a)+c2(a+b)
abc
 
对任意的a，b，c均成立．
∵右边=
1
c3sinAcosA
[c2sinA(cosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(csinA+ccosA)]=sinA+cosA+
sinA+cosA+1
sinAcosA
．（8分）
令t=sinA+cosA(t∈(1，
2
])，则f(t)=t+
t+1
t2-1
2
=t-1+
2
t-1
+1，
∴当t=
2
时，f(t)min=3
2
+2，（11分） 故 k∈[ 3
2
+2 ，+∞)． （12分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知△ABC中，满足AB2=AB?AC+BA?BC+CA?CB，a，b，c分别是△ABC的三..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。


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