已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数列，且b2=a2，b20=a4．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；（2）求数列{bnan-1}的前n项和Tn；（3）若不等式Tn+-n2+11-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=n+

3

2

an（n∈N^*）．数列{b_n}是等差数列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求证：数列{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{

bn

an-1

}的前n项和T_n；
（3）若不等式Tn+

-n2+11n-6

2×3n

＜lo

g

a

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立，求实数x的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由Sn=n+

3

2

an，①当n≥2时，Sn-1=n-1+

3

2

an-1，②
两式相减得an=1+

3

2

an-

3

2

an-1，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
当n≥2时，

an-1

an-1-1

=

3an-1-2-1

an-1-1

=3为定值，（2分）
所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，（3分）
（2）由Sn=n+

3

2

an，令n=1，得a₁=-2．所以数列{a_n-1}是等比数列，公比是3，首项为-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差数列，求得b_n=-4n（5分）
∵Tn=

b1

a1-1

+

b2

a2-1

+…+

bn-1

an-1-1

+

bn

an-1

=4[

1

31

+

2

32

+…+

(n-1)

3n-1

+

n

3n

]，
而

1

3

Tn=4[

1

32

+

2

33

+…+

(n-1)

3n

+

n

3n+1

]，
相减得

2

3

Tn=4(

1

31

+

1

32

+…+

1

3n

-

n

3n+1

)，即Tn=2(

1

30

+

1

31

+…+

1

3n-1

)-

2n

3n

，
则 Tn=2

1-(

1

3

)n

1-

1

3

-

2n

3n

=3-

2n+3

3n

．（8分）
（3）令Pn=Tn+

-n2+11n-6

2×3n

则Pn=3-

2n+3

3n

+

-n2+11n-6

2×3n

=3+

-n2+7n-12

2×3n

（9分）Pn+1=3+

-n2+5n-6

2×3n+1

∴Pn+1-Pn=

-n2+5n-6

2×3n+1

-

-n2+7n-12

2×3n

=

2n2-16n+30

2×3n+1

=

(n-3)(n-5)

3n+1

（10分）
∴当n＞5时P_n+1-P_n＞0此时P_n单调递增；（11分）
∵当n＞5时，-n²+7n-12＜0从而3+

-n2+7n-12

2×3n

＜3∴当n＞5时，P_n＜3
∵P₁=3-1=2，P2=3-

1

9

＜3，P₃=P₄=3，P5=P6=3-

1

243

＜3
∴当n∈N^*时，P_n的最大值为3（13分）
∵不等式Tn+

-n2+11n-6

2×3n

＜lo

g

a

x（a＞0且a≠1）对一切n∈N^*恒成立∴log_ax＞3．（14分）
故当a＞1时，x≥a³；当0＜a＜1时，0＜x≤a³．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n+32an（n∈N*）．数列{bn}是等差数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：