已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f‘（x）和g‘（x）是f（x），g（x）的导函数，若f‘（x）g‘（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致（1）设a＞0，若函数-数学试题及答案

1、试题题目：已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f‘（x）和g‘（x）是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知a，b是实数，函数f（x）=x³+ax，g（x）=x²+bx，f'（x）和g'（x）是f（x），g（x）的导函数，若f'（x）g'（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致
（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[-1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；
（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值．

试题来源：江苏试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f'（x）=3x²+a，g'（x）=2x+b．
（1）由题得f'（x）g'（x）≥0在[-1，+∞）上恒成立．因为a＞0，故3x²+a＞0，
进而2x+b≥0，即b≥-2x在[-1，+∞）上恒成立，所以b≥2．
故实数b的取值范围是[2，+∞）
（2）令f'（x）=0，得x=±

-

a

3

．
若b＞0，由a＜0得0∈（a，b）．又因为f'（0）g'（0）=ab＜0，
所以函数f（x）和g（x）在（a，b）上不是单调性一致的．
因此b≤0．
现设b≤0，当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0；
当x∈（-∝，-

-

a

3

）时，f'（x）＞0．
因此，当x∈（-∝，-

-

a

3

）时，f'（x）g'（x）＜0．故由题设得a≥-

-

a

3

且b≥-

-

a

3

，
从而-

1

3

≤a＜0，于是-

1

3

＜b＜0，因此|a-b|≤

1

3

，且当a=-

1

3

，b=0时等号成立，
又当a=-

1

3

，b=0时，f'（x）g'（x）=6x（x²-

1

9

），从而当x∈（-

1

3

，0）时f'（x）g'（x）＞0．
故函数f（x）和g（x）在（-

1

3

，0）上单调性一致，因此|a-b|的最大值为

1

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f‘（x）和g‘（x）是..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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