已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x1，x2∈N，x1≠x2都有；（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；（2）n∈N，且f(0)=1，求证：f(n)≥n+1；（3）对任意m，n∈N，有f(n+f(m))=f(n)+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x1，x2∈N，x1≠x2都有；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x₁，x₂∈N，x₁≠x₂都有

；
（1）试证明：f(x)为N上的单调增函数；
（2）

n∈N，且f(0)=1，求证：f(n)≥n+1；
（3）对任意m，n∈N，有f(n+f(m))=f(n)+1，证明：

。

试题来源：0101 月考题试题题型：证明题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由

知，
对任意

，都有

，
由于a-b＜0，从而，所以函数f(x)为上的单调增函数。
（2）由（1）可知，

都有f(n+1)＞f(n)，则有f(n+1)≥f(n)+1，
∴f(n+1)-f(n)≥1，
∴f(n)-f(n-1)≥1，
…
∴f(2)-f(1)≥1，
∴f(1)-f(0)≥1，
由此可得f(n)-f(0)≥n，
∴f(n)≥n+1命题得证。
（3）令m=0，可得出f(0)=1，
又f(n+1)=f(n)+1，
则f(n)=n+1，
∴

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=f(x)，x∈N，f(x)∈N，满足：对任意x1，x2∈N，x1≠x2都有；..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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