已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．（1）求m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-27 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并根据定义证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵函数f(x)=loga

1-mx

x-1

(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称
∴函数为奇函数，满足f（-x）+f（x）=0，即loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0对定义域内任意x都成立，
即loga(

1+mx

-x-1

?

1-mx

x-1

)=log_a1，

1-m2x2

1-x2

=1对定义域内任意x都成立，
∴m²=1，得m=±1，经检验m=1不符合题意舍去，所以m的值为-1；
（2）当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数，证明如下
由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，（x＞1）
设t=

1+x

x -1

，再令1＜x₁＜x₂，则t₁=

1+x1

x1-1

，t₂=

1+x2

x2-1

，
可得t₁-t₂=

1+x1

x1-1

-

1+x2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，有t₁＞t₂，
∴函数t=

1+x

x-1

是（1，+∞）上的减函数．
根据复合函数单调性法则，得：当0＜a＜1时，f（x）是（1，+∞）的增函数；
当a＞1时，f（x）是（1，+∞）的减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=loga1-mxx-1(a＞0，a≠1)的图象关于原点对称..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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