已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+2sinAcosA+cos(B-C)．（1）若△ABC是正三角形，求y的值；（2）若任意交换△ABC中两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论；（3）若△ABC中有一-数学试题及答案

1、试题题目：已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+2sinAcosA+cos(B-C)．（1）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

．
（1）若△ABC是正三角形，求y的值；
（2）若任意交换△ABC中两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论；
（3）若△ABC中有一内角为45°，求y的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）若△ABC是正三角形，则A=B=C=

π

3

，
y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

=

3

+

3

1

2

+1

=

3

．
（2）∵y=cotA+

2sinA

cosA+cos ( B-C )

=

cos2A+cosAcos(B-C)+2sin2A

sinAcosA+sinAcos(B-C)

=

1+sin2A-cos(B+C)cos(B-C)

1

2

sin2A+sin(B+C)cos(B-C)

=

1+

1-cos2A

2

-

1

2

(cos2B+cos2C)

1

2

[sin2A+sin2B+sin2C]

=

3-( cos2A+cos2B+cos2C)

sin2A+sin2B+sin2C

．
∴若任意交换△ABC中两个角的位置，则y的值不会发生变化．
（3）若△ABC中有一内角为45°，不妨设A=45°，则B+C=135°．
y=

3-( cos2A+cos2B+cos2C)

sin2A+sin2B+sin2C

=

3-(cos2B+cos2C)

1+sin2B+sin2C

=

3-2cos(B+C)cos(B-C)

1+2sin(B+C)cos(B-C)

=

3+

2

cos(B-C)

1+

2

cos(B-C)

=1+

2

1+

2

cos(B-C)

．
故当cos（B+C）=1（最大值）时，y有最小值为1+

2

1+

2

=2

2

-1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+2sinAcosA+cos(B-C)．（1）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：