方程组6x-y-z=20x2+y2+z2=1979的所有正整数解是_____

1、试题题目：方程组6x-y-z=20x2+y2+z2=1979的所有正整数解是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-15 07:30:00

试题原文

方程组

6x-y-z=20

x2+y2+z2=1979

的所有正整数解是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：三元（及三元以上）一次方程（组）的解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵

6x-y-z=20

x2+y2+z2=1979

?

y+z=6x-20

y2+z2=1979-x2

∵（y-z）²≥0?2yz≤y²+z²?2yz+y²+z²=2（y²+z²）?（y+z）²≤2（y²+z²）
∴（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²）
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²
注解到不等式（y+z）²≤2（y²+z²）有（y+z）²=（6x-20）²≤2（y²+z²）=2（1979-x²），
于是（6x-20）²≤2（1979-x²）≤2×1978＜63²，即-63＜6x-20＜63
又∵y+z=6x-20是正整数
∴0＜6x-20＜63，即

20

4

＜x＜

83

6

，从而4≤x≤13．
再由y+z为偶数，从而y²+z²为偶数，x²为奇数，进而x为奇数．
∴x=5，7，9，11，13
①当x=5时，

y+z=10

y2+z2=1854

，显然y、z正整数解不存在．
②当x=7时，

y+z=22

y2+z2=1830

，显然y、z正整数解不存在．

③当x=9时，

y+z=34

y2+z2=1898

，显然y、z正整数解不存在．

④当x=11时，解得

x1=11

y1=3

z1=43

或

x2=11

y2=43

z2=3

；
⑤当x=13时，解得

x3=13

y3=21

z3=37

或

x4=13

y4=37

z4=21

．
故答案为