如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．（1）求证：直线PA为⊙O的切线；（2）试探究线段EF、-数学试题及答案

1、试题题目：如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-07-14 07:30:00

试题原文

如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
（1）求证：直线PA为⊙O的切线；
（2）试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
（3）若BC=6，tan∠F=

，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：锐角三角函数的定义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴直线PA为⊙O的切线．
（2）EF²=4OD×OP．
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD≌△OPA，
∴

=

，即OA²=OD×OP，
又∵EF=2OA，
∴EF²=4OD·OP．
（3）∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=

BC=3（三角形中位线定理），
设AD=x，
∵tan∠F=

，
∴FD=2x，OA=OF=2x﹣3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得（2x﹣3）²=x²+3²，
解之得，x₁=4，x₂=0（不合题意，舍去），
∴AD=4，OA=2x﹣3=5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB=

=

．
∴OA²=OD×OP，
∴3（PE+5）=25，
∴PE=

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂..”的主要目的是检查您对于考点“初中锐角三角函数的定义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中锐角三角函数的定义”。

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