等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的十二个顶点。-数学试题及答案

1、试题题目：等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-04-28 07:30:00

试题原文

等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点和八线段AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN的中点，是一个正十二边形的十二个顶点。

试题来源：竞赛题试题题型：证明题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：如图，以已知正方形的中心O为原点，以正方形边长之半为长度单位建立直角坐标系．则正方形四个顶点的坐标分别为： A（-1，-1），B（1，-1），C（1，1），D（-1，1）
∵所作的四个等边三角形分别对称于x轴或y轴，
∴K、L、M、N四点在X轴和y轴上，它们的坐标分别为：

CL、NK、CM的中点分别为：

利用距离公式可得

所以 |OP₁|=|OP₂|=|OP₃| 且 |P₁P₂|=|P₂P₃|
又由对称性可知，这十二条线段的中点，即图中的点P₁、P₂、P₃、…、P₁₁、P₁₂，与O点的距离都相等，即它们都在以O为圆心，

为半径的圆上，并且每相邻两点之间的距离都相等，（都等于

）因此，这12个点是一个正十二边形的顶点。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“等边三角形ABK、BCL、CDM和DAN，证明四线段KL、LM、MN、NK的中点..”的主要目的是检查您对于考点“初中正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中正多边形和圆（内角，外角，中心角，边心距，边长，周长，面积的计算）”。

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