已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn．（I）求a1，a2；（II）求通项公式an；（III）求证数列{Sn-1}为等比数列．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn．（I）求a1，a2；（II）求通项公式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}前n项和S_n满足a_n=2-2S_n．
（I）求a₁，a₂；
（II）求通项公式a_n；
（III）求证数列{S_n-1}为等比数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）在a_n=2-2S_n
取n=1，则a₁=2-2S₁=2-2a₁∴a₁=

2

3

取n=2，则a₂=2-2S₂=2-2（a₁+a₂）=2-2（

2

3

+a₂）∴a₂=

2

9

．（2分）
（II）∵当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
∴a_n-a_n-1=（2-2S_n）-（2-2S_n-1）=-2（S_n-S_n-1）=-2a_n
∴a_n=

1

3

a_n-1，n≥2 又a₁=

2

3

∴a_n≠0，n∈N*
∴

an

an-1

=

1

3

∴{a_n}为等比数列，且公比为

1

3

∴a_n=

2

3

×（

1

3

）^n-1=

2

3n

，n∈N*．（4分）
（III）当n≥2时，2-2S_n=a_n=S_n-S_n-1 即：3S_n=2+S_n-1
∴3（S_n-1）=S_n-1-1 又S₁-1=a₁-1=-

1

3

≠0
∴S_n-1≠0，n∈N*
∴

Sn-1

Sn-1-1

=

1

3

为常数
∴数列{S_n-1}为等比数列．（7分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}前n项和Sn满足an=2-2Sn．（I）求a1，a2；（II）求通项公式..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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