已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），（Ⅰ）过P（0，2）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程；（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数y=h′（x）存在零点，求实数a的值。-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），（Ⅰ）过P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

已知f（x）=2x-

x²，g（x）=log_ax（a＞0且a≠1），
（Ⅰ）过P（0，2）作曲线y=f（x）的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数，且其导函数y=h′（x）存在零点，求实数a的值。

试题来源：模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：导数的概念及其几何意义

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（Ⅰ）f（0）=0，
∴P（0，2）不在曲线y=f（x）上，
设切点为Q（x₀，y₀），
∵f′（x）=2-x，
∴k=f′（x₀）=2-x₀，且y₀=f（x₀）=

，
∴切线

，即

，
∵（0，2）在切线上，代入可得x₀=±2，
∴切线为y=2或y=4x+2；
（Ⅱ）h（x）

在（0，+∞）递减，
∴h′（x）=

在x＞0时恒成立，
∵x＞0，
∴

在x＞0恒成立，
x＞0时，2x-x²∈（-∞，1]，
∴

，∴0＜lna≤1，①
又∵h′（x）=

存在零点，即方程lna·x²-21na·x+1=0有正根，
∴Δ=4ln²a-4lna≥0，
∴lna≥1或lna＜0，②
由①②知lna=1，
∴a=e。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=2x-x2，g（x）=logax（a＞0且a≠1），（Ⅰ）过P..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的概念及其几何意义”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的概念及其几何意义”。

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