已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．（1）求双曲线C的离心率；（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x﹣y+9=0上一-数学试题及答案

1、试题题目：已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-24 07:30:00

试题原文

已知斜率为1的直线l与双曲线

相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若双曲线C的右焦点坐标为（3，0），则以双曲线的焦点为焦点，过直线g：x﹣y+9=0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

试题来源：安徽省模拟题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）由题设知：l的方程为y=x+2，代入双曲线

，
并化简得：（b²﹣a²）x²﹣4a²x﹣4a²﹣a²b²=0，（*）
设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
则

，

，
由M（1，3）为BD的中点，知

，
故

，即b²=3a²．故c=2a，∴e=2．
（2）双曲线的左、右焦点为F₁（﹣3，0），F₂（3，0），
点F₁关于直线g：x﹣y+9=0 ①的对称点F的坐标为（﹣9，6），
直线FF₂的方程为x+2y﹣3=0， ②
解方程组①②得：交点M（﹣5，4），
此时|MF₁|+|MF₂|最小，
所求椭圆的长轴

，
∴a=3

，
∵c=3，
∴b²=36，
故所求椭圆的方程为

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知斜率为1的直线l与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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