函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

函数f(x)=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）确定函数的解析式；
（2）证明函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为f（x）为（-1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0．
又f（

1

2

）=

2

5

，所以

1

2

a

1+

1

4

=

2

5

，解得a=1．
所以f（x）=

x

1+x2

．
（2）设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+x12

-

x2

1+x22

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
因为-1＜x₁＜x₂＜1，所以x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在（-1，1）上是增函数；
（3）f（t-1）+f（t）＜0可化为f（t-1）＜-f（t）．
又f（x）为奇函数，所以f（t-1）＜f（-t），
f（x）为（-1，1）上的增函数，所以t-1＜-t①，且-1＜t-1＜1②，-1＜t＜1③；
联立①②③解得，0＜t＜

1

2

．
所以不等式f（t-1）+f（t）＜0的解集为(0，

1

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f(x)=ax+b1+x2是定义在（-1，1）上的奇函数，且f(12)=25．（1）确..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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