已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx （a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f（1-x），且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，如果存在，求出m、n的值，如果不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-

b

2a

，∴-

b

2a

=1．①
又f（x）=x有等根，即ax²+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）²=0．②
由①，②得 b=1，a=-

1

2

．∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）∵f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

≤

1

2

．
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤

1

2

，∴n≤

1

6

．
从而m＜n≤

1

6

＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
∴

f(m)=-

1

2

m2+m=3m

f(n)=-

1

2

n2+n=3n

，
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0），满足条件f（1+x）=f..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：