已知抛物线C1：y=-x2+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C1：y=-x2+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-07-11 07:30:00

试题原文

已知抛物线C₁：y=-x²+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C₂与抛物线C₁关于y轴对称，其顶点为B，连接AC，BC，AB。
（1）当m=1时，判定△ABC的形状，并说明理由；
（2）抛物线C₁上是否存在点P，使得四边形ABCP为菱形？如果存在，请求出m的值；如果不存在，请说明理由。

试题来源：江苏模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：轴对称

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）当m=1时，△ABC为等腰直角三角形，
理由如下：
如图：∵点A与点B关于y轴对称，点C又在y轴上，
∴AC=BC，
过点A作抛物线C₁的对称轴，交x轴于D，过点C作CE⊥AD于E，
当m=1时，顶点A的坐标为A（1，2），
∴CE=1，
又∵点C的坐标为（0，1），
∴AE=2-1=1，
∴AE=CE，从而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°，
由对称性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形；

（2）假设抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，则PC=AB=BC，
由（1）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC，从而△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
四边形ABCP为菱形，
∴CP∥AB，
∴∠ACE=60°，
∵点A，C的坐标分别为A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=m，
在Rt△ACE中，tan60°=

=

，
故抛物线C₁上存在点P，使得四边形ABCP为菱形，此时m=

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C1：y=-x2+2mx+1（m为常数，且m＞0）的顶点为A，与y..”的主要目的是检查您对于考点“初中轴对称”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中轴对称”。

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