已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0（1）求证：对于任意实数m，l与圆C恒有两个交点A，B（2）当AB最小时，求l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-18 07:30:00

试题原文

已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x²+y²-6x-8y+21=0
（1）求证：对于任意实数m，l与圆C恒有两个交点A，B
（2）当AB最小时，求l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与圆的位置关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线系l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0，可以化成（2x-3y+7）+m（x+2y-14）=0，
∵方程组2x-3y+7=0；x+2y-14=0有解x=4；y=5，
∴l中的每一条都经过点M（4，5），
圆C：（x-3）²+（y-4）²=4的圆心是N（3，4），半径是r=2，
∵|MN|²=（4-3）²+（5-4）²=2＜4=r²，
∴点M在圆C内，
则过M的每一条直线都与圆相交，并且交于不同的两点A，B；
（2）过圆内一点的所有弦中，以直径为最长，以垂直于直径的弦长最小，
此时k_MC=

5-4

4-3

=1，∴k_AB=-1，
∴直线l方程为y-5=-（x-4），即x+y-9=0，
则|AB|最小时，直线方程是x+y-9=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：（m+2）x+（2m-3）y+（7-14m）=0与圆C：x2+y2-6x-8y+21=0（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与圆的位置关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与圆的位置关系”。

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