对于一般的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0）定义：设f‘‘（x）是函数y=f（x）的导函数y=f‘（x）的导数．若f‘‘（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”，现已知-数学试题及答案

1、试题题目：对于一般的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0）定义：设f‘‘（x）是函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-16 07:30:00

试题原文

对于一般的三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a≠0）定义：设f''（x）是函数y=f（x）的导函数y=f'（x）的导数．若f''（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”，现已知：g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），请解答下列问题：
（Ⅰ）．若y=g（x）是R上的增函数，求证a=b=c；
（Ⅱ）在（Ⅰ）．的条件下，求函数y=g（x）的“拐点”A的坐标，并证明函数y=g（x）的图象关于“拐点”A成中心对称．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）∵g（x）=（x-a）（x-b）（x-c），
∴g'（x）=（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）+（x-a）（x-b）
=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac，
∵y=g（x）是R上的增函数，
∴g'（x）=3x²-2（a+b+c）x+ab+bc+ac≥0在R上恒成立
即4（a+b+c）²-12（ab+bc+ac）≤0
则2a²+2b²+2c²-2（ab+bc+ac）≤0即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0
∴a=b=c；
（II）由（I）得y=g（x）=（x-a）³g'（x）=3（x-a）²，g''（x）=6（x-a）=0
解得x=a
∴函数y=g（x）的“拐点”A的坐标为（a，0）
设函数y=g（x）图象上任意一点（x，y）则关于（a，0）的对称点为（2a-x，-y）
根据g（2a-x）=（a-x）³=-g（x）可知点（2a-x，-y）也在函数y=g（x）图象上
∴函数y=g（x）的图象关于“拐点”A（a，0）成中心对称．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于一般的三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d，（a≠0）定义：设f‘‘（x）是函..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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