（1）讨论函数f(x)=lnxx2（x∈[e-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．（2）求证：对任意的n∈N*，不等式ln114+ln224+ln334+…+lnnn4＜12e总成立．-数学试题及答案

1、试题题目：（1）讨论函数f(x)=lnxx2（x∈[e-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-26 07:30:00

试题原文

（1）讨论函数f(x)=

lnx

x2

（x∈[e^-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．
（2）求证：对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

总成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数、映射的概念

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得：f′(x)=

1-2lnx

x3

．令f'（x）=0，得x=

e

．
当x∈(e-1，

e

)时，f'（x）＞0，故函数f（x）在[e-1，

e

]上递增；
当x∈(

e

，e)时，f'（x）＜0，故函数f（x）在[

e

，e]上递减．
又因为f（e^-1）=-e²，f(

e

)=

1

2e

，f(e)=

1

e2

，所以当k＞

1

2e

或k＜-e²时，没有交点；
当k=

1

2e

或-e2≤k＜

1

e2

时，有唯一的交点；当

1

e2

≤k＜

1

2e

时，有两个交点．
（2）证明：由（1）知函数f（x）在(0，

e

)上递增，在(

e

，+∞)上递减，
故f（x）在（0，+∞）上的最大值为

1

2e

．
即对x∈（0，+∞）均有

lnx

x2

≤

1

2e

，故

lnx

x4

=

lnx

x2

?

1

x2

≤

1

2e

?

1

x2

．
当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

=0+

ln2

22

?

1

22

+

ln3

32

?

1

32

+…+

lnn

n2

?

1

n2

≤

1

2e

(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
＜

1

2e

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)?n

)=

1

2e

(

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

(n-1)

-

1

n

)
=

1

2e

(

1

-

1

n

)＜

1

2e

．
综上可知，对任意的n∈N^*，不等式

ln1

14

+

ln2

24

+

ln3

34

+…+

lnn

n4

＜

1

2e

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）讨论函数f(x)=lnxx2（x∈[e-1，e]）的图象与直线y=k的交点个数．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数、映射的概念”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数、映射的概念”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：