在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，（Ⅰ）证明：数列{an-n}是等比数列；（Ⅱ）设bn=nan-n2-n，求数列{bn}的前n项和Sn；-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，（Ⅰ）证明：数列{an-n}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）证明：数列{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=na_n-n²-n，求数列{b_n}的前n项和S_n；

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由题设a_n+1=4a_n-3n+1，
得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N₊
又a₁-1=1≠0∴

an+1-(n+1)

an-n

=4
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列
（Ⅱ）由（1）可知a_n-n=4^n-1
而b_n=n（a_n-n）-n=n?4^n-1-n
∴S_n=1?4⁰+2?4¹+3?4²+n?4^n-1-（1+2+3+n）T_n=1?4⁰+2?4¹+3?4²+n?4^n-1①
4T_n=1?4¹+2?4²+3?4³+（n-1）?4^n-1+n?4ⁿ②
由①-②得：-3T_n=1+4+4²+4^n-1-n?4ⁿ=

1-4n

1-4

-n?4n=

4n-1

3

-n?4n
∴Tn=

1-4n

9

+

n?4n

3

=

1

9

+(

n

3

-

1

9

)?4n
=

(3n-1)?4n

9

+

1

9

=

(3n-1)?4n+1

9

Sn=

(3n-1)?4n+1

9

-

n(n+1)

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，（Ⅰ）证明：数列{an-n}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：