在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2）（Ⅰ）证明：{1an}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项；（Ⅲ）若λan+1an+1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2）（Ⅰ）证明：{1an}是等差..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-05 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）
（Ⅰ）证明：{

1

an

}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项；
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以{

1

an

}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，所以an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ恒成立，即

λ

3n-2

+3n+1≥λ恒成立，整理得：λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

．
令cn=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，
则可得 cn+1-cn=

(3n+4)(3n+1)

3n

-

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

．
因为n≥2，所以

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，即{c_n}为单调递增数列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
所以λ的取值范围为(-∞，

28

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0（n≥2）（Ⅰ）证明：{1an}是等差..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

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