设向量a=(x+1，y)，b=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|a|+|b|=4．（1）求点p的轨迹方程；（2）设点p的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F（1，0）的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断-数学试题及答案

1、试题题目：设向量a=(x+1，y)，b=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|a|+|b|=4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

设向量

a

=(x+1，y)，

b

=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|

a

|+|

b

|=4．
（1）求点p的轨迹方程；
（2）设点p的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F（1，0）的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知，

(x+)2+y2

+

(x-1)2+1

=4，
所以动点P的轨迹M是以点E（-1，0），F（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
因为c=1，a=2，则b²=a²-c²=3．
故动点P的轨迹M方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线BC的方程x=my+1与（1）中的椭圆方程

x2

4

+

y2

3

=1联立消去x
可得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

，
所以|BC|=

m2+1

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(m2+1)

3m2+4

点A到直线BC的距离d=

3

1+m2

S△ABC=

1

2

|BC|d=

18

1+m2

3m2+4

令

1+m2

=t，t≥1，
∴S△ABC=

1

2

|BC|d=

18t

3t2+1

=

18

3t+

1

t

≤

9

2

故三角形的面积最大值为

9

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设向量a=(x+1，y)，b=(x-1，y)，点P（x，y）为动点，已知|a|+|b|=4..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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