已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-21 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1）平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，求证k₁+k₂=0．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与椭圆方程的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1
则

a=2b

4

a2

+

1

b2

=1

解得a²=8，b²=2
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

1
（2）∵直线l平行与OM，且在一轴上的截距为m，由k_OM=

1

2

∴l的方程为y=

1

2

x+m
由直线方程与椭圆方程联立消去y得x²+2mx+2m²-4=0
∵直线l与椭圆交与A，B两个不同点
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
解得-2＜m＜2，且m≠0
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²+2mx+2m²-4=0可得
x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4
则k₁=

y1-1

x1-2

，k₂=

y2-1

x 2 -2

而k₁+k₂=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x 2 -2

=

(

1

2

x1+m-1)(x2-2)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=0
∴k₁+k₂=0，
故得证．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与椭圆方程的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与椭圆方程的应用”。

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