如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥CD；（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面P-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

试题来源：江苏期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0）A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，

，0），P（0，0，z），F（

，

）．
（Ⅰ）证明：∵

=（﹣

，0，

）（0，a，0）=0，
∴

，∴EF⊥CD．
（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK

AD，FK=AD，∴QF

DK
∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，
∵K是PC的中点，所以PD=DC，
底面ABCD为正方形，所以DB=

PB与面ABCD所成角的正切值为：

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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