已知椭圆C：M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=35，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16（Ⅰ）求椭圆M的方程；（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=35，且椭圆..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-06 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

3

5

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为16
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若O（0，0）、P（2，2），试探究在椭圆C内部是否存在整点Q（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），使得△OPQ的面积S_△OPQ=4？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c，由题意可知道：

2a+2c=16

c

a

=

3

5

，解得

a=5

c=3

…（3分）
又因为a²=b²+c²，所以b=

a2-c2=4

所以椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1…（6分）
（Ⅱ）依题意|OP|=2

2

，直线OP的方程为y=x，…（7分）
因为S_△OPQ=4，所以Q到直线OP的距离为2

2

，…（8分）
所以点Q在与直线OP平行且距离为2

2

的直线l上，
设l：y=x+m，则

|m|

2

=2

2

，解得m=±4 …（10分）
当m=4时，由

y=x+4

x2

25

+

y2

16

＜1

，
消元得41x²+200x＜0，即-

200

41

＜x＜0 …（12分）
又x∈Z，所以x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，此时满足条件的点Q有4个．
当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．…（13分）
综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：M：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率e=35，且椭圆..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：