已知函数f（x）=elnx+kx（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若f（x）在x=x0处取得极值，且x0是f（x）的一个零点，求k的值；（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[1e，1]上的最大值；（III-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=elnx+kx（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若f（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=elnx+

k

x

（其中e是自然对数的底数，k为正数）
（I）若f（x）在x=x₀处取得极值，且x₀是f（x）的一个零点，求k的值；
（II）若k∈[1，e]，求f（x）在区间[

1

e

，1]上的最大值；
（III）设函数g（x）=f（x）-kx在区间（

1

e

，e）上是减函数，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由已知f'（x₀）=0，即

e

x0

-

k

x02

=0，（2分）
∴x0=

k

e

，又f（x₀）=0，即eln

k

e

+e=0，∴k=1．（4分）

（II）f′(x)=

e

x

-

k

x2

=

e(x-

k

e

)

x2

，
∵1≤k≤e，∴

1

e

≤k≤1，（6分）
由此得x∈(

1

e

，

k

e

)时，f（x）单调递减；
x∈(

k

e

，1)时，f（x）单调递增
故fmax(x)∈{f(

1

e

)，f(1)}（8分）
又f(

1

e

)=ek-e，f(1)=k
当ek-e＞k，即

e

e-1

＜k≤e时，
fmax(x)=f(

1

e

)=ek-e
当ek-e≤k，即1≤k≤

e

e-1

时，
f_max（x）=f（1）=k（10分）

（III）g′(x)=f′(x)-k=

e

x

-

k

x2

-k，
∵g（x）在(

1

e

，e)在是减函数，
∴g'（x）≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立
即

e

x

-

k

x2

-k≤0在x∈(

1

e

，e)上恒成立，
∴k≥

e

x+

1

x

在x∈(

1

e

，e)上恒成立，（12分）
又x+

1

x

≥2

x?

1

x

=2当且仅当x=1时等号成立．
∴

e

x+

1

x

≤

e

2

，∴k∈[

e

2

，+∞)（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=elnx+kx（其中e是自然对数的底数，k为正数）（I）若f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：