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1、试题题目:已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的函数,
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)<(n+1)fn′(n)。

  试题来源:模拟题   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:函数的单调性与导数的关系



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:
解:(1)fn′(x)=nxn-1-n(x+a)n-1=n[xn-1-(x+a)n-1],
∵a>0,x>0,
∴fn′(x)<0,
∴fn(x)在(0,+∞)单调递减。
(2)由上知:当x>a>0时,fn(x)=xn-(x+a)n是关于x的减函数,
∴当n≥a时,有:(n+1)n-(n+1+a)n≤nn-(n+a)n
又∵fn+1′(x)=(n+1)[xn-(x+a)n],
∴fn+1′(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]<(n+1)[nn-(n+a)n]
=(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1]
(n+1)fn′(n)=(n+1)n[nn-1-(n+a)n-1]=(n+1)[nn-n(n+a)n-1],
∵(n+a)>n,
∴fn+1′(n+1)<(n+1)fn′(n)。
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。


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