发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-05 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：（1）f′（x）=（1-x）e-x 令f′（x）=0，解得x=1 当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：  所以f（x）在（-∞，1）内是增函数，在（1，+∞）内是减函数 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1），且  。（2）证明：由题意可知g（x）=f（2-x），得g（x）=（2-x）ex-2 令F（x）=f（x）-g（x），即F（x）=xe-x+（x -2）ex-2 于是F′（x）=（x-1）（e2x-2-1）e-x， 当x>1时，2x-2>0，从而e2x-2-1 >0 又e-x>0， 所以F′（x）>0 从而函数F（x）在[1，+∞）上是增函数 又F（1）=e-1-e-1=0， 所以x>1时，有F（x）>F（1）=0，即f（x）>g（x）。 （3）①若（x1-1）（x2-1）=0，由（1）及f（x1）= f（x2），得x1=x2=1，与x1≠x2矛盾 ②若（x1-1）（x2-1）>0，由（1）及f（x1）=f（x2），得x1=x2，与x1≠x2矛盾 根据①②得（x1-1）（x2-1）<0 不妨设x1<1，x2>1 由（2）可知，f（x2）>g（x2），g（x2）=f（2-x2）， 所以f（x2）>f（2 -x2）， 从而f（x1）>f（2-x2） 因为x2>1， 所以2-x2<1 又由（1）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内是增函数， 所以x1>2-x2，即x1+x2>2。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=xe-x（x∈R）。（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）已..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。