已知函数f（x）=（x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x1，x2∈[0，4]均有|f（x1）-f（x2）|<1成立，求实数a的取值范围。-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

（x∈R），a为正数。
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）-f（x₂）|<1成立，求实数a的取值范围。

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x）=

）
∴f′（x）=

，
令f′（x）=0，
∵a>0，
∴x₁=0，x₂=3，
f′（x）>0，得0＜x＜3；
f′（x）＜0，得x＜0或x>3，
f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数；
（2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数，
∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）=

也是最大值，
又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae^-4>0，
∴f（0）＜f（4），
∴f（x）在[0，4]上的最小值为-a，
∴要使得函数f（x）对任意x₁，x₂∈[0，4]均有|f（x₁）- f（x₂）|＜1成立只需|f（3）-f（0）|＜1即可，
∴

∵a>0，
∴0＜a＜

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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