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1、试题题目:有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-07 07:30:00

试题原文

有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划合建一个中心医院,为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处(建立坐标系如图).
(Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和最小,则P应位于何处?
(Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小,则P应位于何处?
魔方格

  试题来源:北京   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:两点间的距离



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:

魔方格
(Ⅰ)由题设条件a>b>0,设P的坐标为(0,y),则P至三镇距离的平方和为f(y)=2(b2+y2)+(
a2-b2
-y)2
=3y2-2
a2-b2
y+a2+b2

所以,当y=
a2-b2
3
时,函数f(y)取得最小值.
答:点P的坐标是(0,
a2-b2
3
)

(Ⅱ)记h=
a2-b2

P至三镇的最远距离为g(x)=
b2+y2
,当
b2+y2
≥|h-y|
|h-y|,当
b2+y2
<|h-y|.

b2+y2
≥|h-y|
解得y≥
h2-b2
2h
,记y*=
h2-b2
2h

于是g(x)=
b2+y2
,当y≥y*
|h-y|,当y<y*.

y*=
h2-b2
2h
≥0
,即h≥b时,
因为
b2+y2
在[y*,+∞)上是增函数,而|h-y|在(-∞,y*]上是减函数.
所以y=y*时,函数g(y)取得最小值.点P的坐标是(0,
h2-b2
2h
)

y*=
h2-b2
2h
<0
,即h<b时,因为
b2+y2
在[y*,+∞)上当y=0函数g(y)取得最小值b,而|h-y|在(-∞,y*]上是减函数,且|h-y|>b,所以y=0时,函数g(y)取得最小值.
答:当h≥b时,点P的坐标是(0,
h2-b2
2h
)
;当h<b时,点P的坐标是(0,0),其中h=
a2-b2
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“有三个新兴城镇分别位于A、B、C三点处,且AB=AC=a,BC=2b,今计划..”的主要目的是检查您对于考点“高中两点间的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中两点间的距离”。


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