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1、试题题目:如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为..

发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-11-04 07:30:00

试题原文

如图,椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围.
魔方格

  试题来源:福建   试题题型:解答题   试题难度:中档   适用学段:高中   考察重点:一元高次(二次以上)不等式



2、试题答案:该试题的参考答案和解析内容如下:

魔方格
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以|OF|=
3
2
|MN|

即1=
3
2
?
2b
3
,解得b=
3
.
a2=b2+1=4,因此,椭圆方程为
x2
4
+
y2
3
=1.

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
|OA|2+|OB|2=2a2,|AB|2=4a2(a2>1),
因此,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:x=my+1,代入
x2
a2
+
y2
b2
=1

整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0,
所以y1+y2=
2b2m
a2+b2m2
y1y2=
b2-a2b2
a2+b2m2

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以∠AOB恒为钝角.
OA
?
OB
=(x1y1)?(x2y2)=x1x2+y1y2<0
恒成立.
x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=
(m2+1)(b2-a2b2)
a2+b2m2
-
2b2m2
a2+b2m2
+1

=
-m2a2b2+b2-a2b2+a2
a2+b2m2
<0.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立,
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立.
当m∈R时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>
1+
5
2
或a<
1-
5
2
(舍去),即a>
1+
5
2

综合(i)(ii),a的取值范围为(
1+
5
2
,+∞).
3、扩展分析:该试题重点查考的考点详细输入如下:

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为..”的主要目的是检查您对于考点“高中一元高次(二次以上)不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中一元高次(二次以上)不等式”。


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