如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。（1）求证：ME=MF；（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-31 07:30:00

试题原文

如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E。
（1）求证：ME=MF；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并加以证明；
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB=mBC，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的关系，并说明理由；
（4）根据前面的探索和图4，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题；若不能，请说明理由。

试题来源：河北省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：相似三角形的性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）过点Ｍ作ＭＨ⊥AB于Ｈ，ＭＧ⊥AD于Ｇ，连接AＭ
∵Ｍ是正方形ABCD的对称中心，
∴Ｍ是正方形ABCD对角线的交点，
∴AＭ平分∠BAD，
∴ＭＨ=ＭＧ在正方形ABCD中，∠A=90°，
∵∠MHA=∠MGA=90°
∴∠ＨＭＧ=90°，
在正方形ＱＭＮＰ，∠EＭF=90°
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（2） ME=MF。
证明：过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，
∵M是菱形ABCD的对称中心，
∴M是菱形ABCD对角线的交点，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵BC∥AD，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵∠M=∠B，
∴∠M+∠BAD=180°
又∠MHA=∠MGF=90°，
在四边形HMGA中，∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠EMF=∠HMG，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；
（3）ME=mMF，
证明：过点Ｍ作ＭＨ⊥AB于Ｈ，ＭＧ⊥AD于Ｇ，
在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°
∴∠EＭF=∠B=90°，
又∵∠ＭＨA=∠ＭＧA=90°，
在四边形HMGA中，
∴∠ＨＭＧ=90°，
∴∠EＭF=∠ＨＭＧ，
∴∠EＭＨ=∠FＭＧ，
∵∠ＭＨE=∠ＭＧF，
∴△ＭＨE∽△ＭＧF，
∴

，
又∵Ｍ是矩形ABCD的对称中心，
∴M是矩形ABCD对角线的中点
∴ＭＧ∥BC，
∴ＭＧ=

BC，
同理可得ＭＨ=

AB，
∵AB=mBC
∴ＭE=ｍＭF；
（4）平行四边形ABCD和平行四边形ＱＭＮＰ中，∠Ｍ=∠B，AB=ｍBD，Ｍ是平行四边形ABCD的对称中心，ＭＮ交AB于F，AD交ＱＭ于E，则ＭE=ｍＭF。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的对称中心..”的主要目的是检查您对于考点“初中相似三角形的性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中相似三角形的性质”。

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